1.- Continuité en un point x₀

            Soit f  une fonction définie sur I et

 

a.     Définition :

 

f est continue en x₀ si f  admet une limite finie en x₀ et cette limite est f(x₀), autrement dit, f est continue en x₀ si et seulement si

 

Exemple :

 

b.     Continuité à gauche – Continuité à droite :

 

Si f est définie sur

f est continue à droite de x₀ si la

 

Si f est définie sur  ,

f est continue à gauche de x₀ si

 

On rappelle que f admet une limite en x₀ si et seulement si

 

Donc f est continue en x₀ si et seulement f est continue à gauche en x₀ et continue à droite en x_0, c'est-à-dire si et seulement  si

           

Exemple :  

 

 

            Donc f  est continue en x₀

 

c.     Opérations sur les fonctions continues en un point :

 

Si f et g sont continues en x₀ alors  sont continues en x₀.

Si de plus , alors  est continue en x₀

 

Démonstration : f et g sont continues en x_0, donc

 

        2.- Continuité sur un intervalle

 

a.    Définition

 

On dit que f est continue sur si  elle est continue en chaque point de cet intervalle.

f est continue sur , si elle est continue sur , continue à droite en a et continue à gauche en b

 

Graphiquement, une fonction est continue si la courbe représentative de cette fonction est continue

 

Conséquences

 

Toute fonction constante est continue sur

Toute fonction polynôme est continue sur

Toute fonction rationnelle est continue sur chaque intervalle de son domaine de définition

Si f est continue et positive sur I, alors est continue sur I

 

b.    Propriétés des fonctions continues :

 

Théorème

 

Si f est continue sur  alors l’image de  par f est un intervalle

 

Théorème des valeurs intermédiaires

 

Soient a et b deux éléments de l’ensemble de définition de f tels que a < b.

Si f est continue sur  alors quel que soit  y₀ appartenant à ou , il existe au moins vérifiant  ; en d’autres termes, quel que soitou , l’équation  admet au moins une solution

Si, de plus, f est strictement monotone, cette solution est unique

 

Cas particulier :

 

Si f est continue sur  et  l’équation  admet au moins une solution dans l’intervalle

 

a.     Prolongement par continuité.

 

 Soit  I un intervalle de IR, x₀ un élément de I, et f une fonction définie sur I - {x₀}.

 

 Si f admet une limite finie en x_0, c'est-à-dire est finie ou est finie, alors f est prolongeable par continuité en x₀

 

On obtient une fonction continue g en posant :

           

 

Cette fonction g, continue en x₀, est appelée prolongement de f par continuité en x₀